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<!DOCTYPE html>

<title>Modifizierte Z-Transformation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Modifizierte Z-Transformation</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Modifizierte Z-Transformation</b> stellt eine Erweiterung der zeitdiskreten <a href="Z-Transformation" title="Z-Transformation">Z-Transformation</a> dar, um auch Signalwerte zwischen ganzzahligen <a href="Abtastung_(Signalverarbeitung)" title="Abtastung (Signalverarbeitung)">Abtastzeitpunkten</a> im Rahmen der zeitdiskreten <a href="Regelungstechnik" title="Regelungstechnik">Regelungstechnik</a> verarbeiten zu können. Die dafür nötigen Modifikationen der Z-Transformation wurden in Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury im Jahr 1958 vorgestellt.<sup id="cite_ref-jury1_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-jury1-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Primäre Anwendung liegt bei der Erkennung von Instabilitäten zufolge der zeitdiskreten Signalverarbeitung von <a href="Regelstrecke" title="Regelstrecke">Regelstrecken</a>, beispielsweise im Bereich der <a href="Leistungselektronik" title="Leistungselektronik">Leistungselektronik</a> für hochdynamische elektrische Antriebssysteme.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Die modifizierte Z-Transformation weist für <a href="Kausal" class="mw-redirect" title="Kausal">kausale</a> Signale mit positiven und ganzzahligen <i>k</i> folgende Definition auf:

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f((k+m)T)z^{-k}\ }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a32894339db4a0e109f0170eb7c75d4243f24e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.303ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle G(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f((k+m)T)z^{-k}\ }" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> der <a href="Periodendauer" class="mw-redirect" title="Periodendauer">Periodendauer</a> und einem „Verzögerungsfaktor“ <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span>, der einen Teil der Periodendauer darstellt und im Bereich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f99b30b4451167959e97802252ad13b87af5505.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1)}" loading="lazy"></span> liegt.

</p><p>Anschaulich stellt die modifizierte Z-Transformation eine unilaterale Z-Transformation dar, die vor dem Abtastglied zur Gewinnung der diskreten Signalfolge ein zusätzliches Laufzeitglied mit der Verzögerung

</p>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-(1-m)Ts}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f6105451fb04e86d26a8b17e1671135f40e4a0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.294ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-(1-m)Ts}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>aufweist. Bei zeitlich konstanten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> gelten die <a href="Z-Transformation#Rechenregeln_der_z-Transformation" title="Z-Transformation">Eigenschaften der Z-Transformation</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Korrespondenzen">Korrespondenzen</h2></div>

<p>Einige der wichtigen <a href="Korrespondenz_(Mathematik)" title="Korrespondenz (Mathematik)">Korrespondenzen</a> der modifizierten Z-Transformation lauten:

</p>

<th>Zeitbereich<br>f(t)</th>

<th>Spektralbereich<br>G(z,m)

</th></tr>

<tr>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/649660abaf97632f59155ddc34806f966e330329.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.927ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span></td>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {mT}{z-1}}+{\frac {T}{(z-1)^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f5835f6fcaa7b2eba5746efd24deb4684af2a66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.558ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {mT}{z-1}}+{\frac {T}{(z-1)^{2}}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-at}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1035a2fda3e9e40df98925a7cb7c55da02e219f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.007ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-at}}" loading="lazy"></span></td>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{-amT}}{z-\mathrm {e} ^{-aT}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a8461ecab48daff71613c4c9dc4597d3c367187.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.334ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{-amT}}{z-\mathrm {e} ^{-aT}}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-\mathrm {e} ^{-at}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/198d7264ad2e74bc2c1b46f6cf850054734d5d76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.009ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 1-\mathrm {e} ^{-at}}" loading="lazy"></span></td>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{z-1}}+{\frac {\mathrm {e} ^{-amT}}{z-\mathrm {e} ^{-aT}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0401b6b0f3e325b1d1c09cf35f520046158cca7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.102ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{z-1}}+{\frac {\mathrm {e} ^{-amT}}{z-\mathrm {e} ^{-aT}}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(\omega t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e6d23de8d66cec43e74d1b079770a7b7d693c15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.95ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin(\omega t)}" loading="lazy"></span></td>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {z\sin {(m\omega T)}+\sin {((1-m)\omega T)}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e76c7e468c65602ed0bd1f4bd7943a52303f02a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.313ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {z\sin {(m\omega T)}+\sin {((1-m)\omega T)}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e57f21007575fd03e3be0da20af34d25829cc9a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=0}" loading="lazy"></span> gehen die Korrespondenzen in die Formen der Z-Transformation über. Die modifizierte Z-Transformation wird daher auch als <i>erweiterte Z-Transformation</i> bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-jury1-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-jury1_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Eliahu Ibrahim Jury: <cite style="font-style:italic">Sampled-Data Control Systems</cite>. John Wiley & Sons, 1958.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Modifizierte+Z-Transformation&rft.au=Eliahu+Ibrahim+Jury&rft.btitle=Sampled-Data+Control+Systems&rft.date=1958&rft.genre=book&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Dierk Schröder: <cite style="font-style:italic">Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen</cite>. 3. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89612-8, Kapitel 6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Modifizierte+Z-Transformation&rft.atitle=Kapitel+6&rft.au=Dierk+Schr%C3%B6der&rft.btitle=Elektrische+Antriebe+-+Regelung+von+Antriebssystemen&rft.date=2009&rft.edition=3.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783540896128&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</main>

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</body></html>